יום ראשון, 13 בנובמבר 2011

מאדים גדול כמו הירח?

מזה כמה שנים שבאוגוסט מתחילה מתקפת אימיילים המבשרת לנו שמאדים יראה בשמים גדול כמו הירח. מדובר כמובן בשטות מוחלטת שהחלה בגרעין של אמת והתפתחה משם. מרחקו של מאדים מכדור הארץ משתנה מאד. באוגוסט 2003 הגיע מאדים לקירבה של 55 מיליון קילומטר מכדור הארץ, יחסית קרוב.
בעין מאדים היה בהיר מאד ואדום מאד אבל כמובן שאי אפשר היה לראות שום דבר פרט לנקודה. בטלסקופים ניתן היה לראות פרטים רבים. מכתב שרשרת החל את דרכו באותם ימים וניסוחו היה שב 27/8/2003 אם מסתכלים על מאדים בטלסקופ בהגדלה, הוא יהיה בערך בגודל של הירח. זה היה די נכון. מרחקו של הירח הוא בערך 360000 קילומטר, מרחקו של מאדים, 55 מיליון, ההפרש בין המרחקים הוא בערך פי 150 ורדיוסו של מאדים כ-3300 קילומטר, הינו כפול מזה של הירח, מה שאומר שהגדלה של פי 75 תראה אותם באותו גודל.
כל זה היה נכון ב-2003 אולם למכתבי השרשרת חיים משלהם. הושמטה השנה, והושמטה העובדה שצריך להתבונן בטלסקופ ומה שנשאר זה התאריך והעובדה שמאדים ייראה בעין כמו הירח... השנה כבר לא קיבלתי מכתבים כאלו ואולי גם מכתב זה מצא סופסוף את הדרך לפח האשפה של האינטרנט.

בינתיים, הנה תמונה של הירח ומאדים אחד ליד השני מהתקבצות מרשימה (5 דקות מעלה בין מאדים לשפת הירח) בשנת 2007. אם אתם לא רואים את מאדים, זה בסדר, תגדילו את התמונה. מאדים היה במרחק של 90 מיליון קילומטר וממש לא בגדול שמתקרב לגודל הירח (אולם עדיין יחסית קרוב, מאחר והמרחק המקסילמי בין כדור הארץ למאדים יכול להגיע גם ל-350 מיליון קילומטר)
מאדים והירח
מאדים, הירח ולהקת ציפורים. כדאי להגדיל

יום שני, 7 בנובמבר 2011

משחקי חשבון

מהם משחקי חשבון? משחקים ופעילויות דרכם אפשר ללמד את הילדים חשבון ואשר עשייתם היא מעין משחק ולא פתירה של דפי עבודה או דפי תרגול (למרות שגם לאלו יש מקום ונביא כמה קישורים בסוף). במאמר נתאר מספר משחקי חשבון שאפשר לעשות עם ילדים קטנים וגדולים. רוב משחקי החשבון דורשים ארבע פעולות בלבד, לפעמים כדאי להיעזר במחשבון. יש לישם לב. הילדים עצמם יכולים לעעשות את המשחקים אולם לא תידרש מהם ההבנה מדוע הדברים קורים (למרות שבהתאם לגיל הילד, אפשר לנסות ולהסביר לו).
לכיתות ג' והלאה אפשר בהחלט להירשם לתוכנית מתימטיקה בהתכתבות של מכון ויצמן.

משחקי חשבון בסדרות
במשחקי חשבון אלו אנו מתחילים תמיד במספר, מבצעים עליו פעולה כלשהי ומגיעים למספר אחר, וחוזרים שוב על הפעולה. אותנו יענינו סדרות שבהן לאחר מספר פעולות מגיעים לאותו מספר (נקודת עצירה של הסדרה). כדאי לנסות ולחשוב למה מגיעים לנקודת עצירה.

משחקי כפל
11*11=121
111*111=12321
1111*1111=1234321

וכו' (למרות שלמספרים עם יותר מתשעה אחדים הכפת משתבש מעט, אבל אפשר לנסות במחשבון של תוכנות חלונות, יש לו הרבה ספרות, יותר מאשר מחשבי כיס)
למה זה קורה?
רישום של התרגיל ככפל ארוך יסביר מיד את התופעה

111
111
===
111
 111
  111
=====
12321

כדאי לנסות גם למספרים שכולם מרוכבים מהספרה שתיים. אמנם החוקיות תהיה מוזרה יותר, אבל עדיין קיימת. בספרות יותר גבוהות העסק קצת הופך לבלאגן אך שרידי חוקיות עדיין קיימים... נסו ותיהנו

משחק ראשון
ביחרו מספר והרכיבו מספר חדש בצורה הבאה. הספרות הראשונות יהיו מספר הספרות הזוגיות במספר המקורי. לאחריו יפיעו מספר הספרות האי-זוגיות במספר המקורי ולבסוף הסכום של שתיהן.
דוגמה:
1800400400 (0 הוא ספרה זוגית)
9110
134
123
123
הגענו לנקודת עצירה במספר 123....
אפשר לנסות מספרים אחרים. מאחר ומספר הספרות במספר תהיה תמיד קטנה יותר מהמספר עצמו, התהליך ייעצר תמיד ואפשר להוכיח כי 123 תהיה התשובה. מבוגרים וילדים גודלים יותר יכולים לנסות ולחשוב למה אבל לא חייבים.

דוגמא נוספת היא במספרים בני ארבע ספרות. לא משנה מאיזה מספר מתחילים (כל עוד לא כל הספרות זהות).
מבצעים את הפעולות הבאות. מספרים כאלו מתאימים לילדים בכיתות ג' ד' ואילך.
בוחרים מספר: מרכיבים ממנו את המספר הגדול ביותר ואת הקטן ביותר.
מבצעים את אותן פעולות על ההפרש...
נראה מה קורה
נבחר את שנת הלידה שלי:
1972 התרגיל חיסור יהיה -> 9712-1279=8433
ממשיכים - > 8433-3348=5085
ממשיכים -> 8550-558=7992
ממשיכים -> 9972-2799=7173
לכאורה נראה שאין הגיון, אבל נצטרך להמשיך ולקוות שמתישהו התהליך ייעצר
7731-1377=6354
6543-3456=3087
8730-378=8352
מתקרבים לסיום!
8532-2358=6174
7641-1467=6174
תשעה שלבים והגענו לנקודת העצירה. נסו מספרים נוספים (ואפשר לנסות גם מספרים בעלי 3 או 5 ספרות)

משחק שני
ביחרו מספר. ובצעו את הפעולות הבאות. אם הוא זוגי חלקו אותו בשניים. אם הוא אי זוגי הכפילו ב-3 והוסיפו 1.
המשיכו עוד ועוד עד שתגיעו (אם תגיעו למספר 1).
לרוב זה עובד די מהר, נסו כמה מספרים
26 -> 13 -> 40 -> 20 - > 10 -> 5 -> 16 -> 8 -> 4 -> 2 -> 1
או למשל
28 -> 14 -> 7 -> 22 - > 11 -> 34 > 17 > 52 > 26  וממשיכים כמו למעלה.
אפשר גם להתחיל אם מספר אי זוגי
25 > 76 > 38 > 19 > 58 > 29 > 88 > 44 > 22 > וממשיכים כמו מלמעלה.

אין שום דרך לדעת את גודל הסדרה. לביטחונכם האישי, אל תתחילו עם 27. יידרשו למעלה מ-100 צעדים ותגיעו עד למספר 9232 (למרות שמשם הדרך כבר קצרה לסיום).

לסדרה זו אין הסברים. אמנם כל המספרים שנוסו עד עכשיו הגיעו ל-1 אולם לא ברור אם ישנם מספרים שעבורם התהליך לא ייעצר, או לחילופים להעריך כמה שלבים נדרשים לכל מספר. התרגיל מכונה השערת  קולץ או לעיתים השערת 3n+1. מפתיע שתרגיל כה פשוט לביצוע מעמיד שאלות שטובי המתימטיקאים לא מצליחים לענות עליהן

קיימים עוד עשרות סוגי פעולות מסוג אלו שלהם יש או אין מספרי עצירה, מפעם לפעם נוסיף עוד (אתם מוזמנים להוסיף בהערות)

משחק שלישי
סימני חלוקה, איך לדעת אם מספר מתחלק ל 2 3 5 6 או 9 (יש סימנים גם למספרים אחרים אבל הם מסובכים יותר)
מספר זוגי יתחלק ב-2
חלוקה ב-3 (אם סכום הספרות מתחלק ב-3) למשל 45766 > 4+5+7+6+6=28 > 2+8=10 לא מתחלק
חלוקה ב-6 מספר זוגי שגם מתחלק ב-3
חלוקה ב-5 - מספר שמסתיים ב-0 או ב-5
חלוקה ב -9 סכום הספרות מתחלק ב-9

סימני החלוקה של 2 6 ו-5 די ברורים, אולם למה אם סכום הספרות מתחלק ב-9 המספר מתחלק ב-9? אפשר להסתכל על כל ספרה בנפרד לפי המיקום שלה. נבחר מספר בין 4 ספרות לצורך המחשה: 5891
הוא מורכב מ 1, 90, 800 ו-5000.
1 לא מתחלק ב-9 והוא נותן שארית 1.
90 מתחלק ב-9 (אין שארית, אולם להוסיף 9 לסכום לא ישנה את התוצאה)
800 - לא מתחלק בתשע. השארית היא בדיוק 8 (מאחר ו-99 מתחלק ב-9, עבור כל מאה שיש במספר, יש שארית של 1. המספר הוא שמונה מאות ולכן השאירת היא 8 ובקיצור הספרה)
5000 - לא מתחלק ב-9 והשארית היא בדיוק 5 (מאותה סיבה בכל אלפייה יש שארית של 1).
אם מסכמים את כל השאריות יוצא ש
5891=5*1000+8*100+9*10+1=(5*999+5)+(8*99+8)+(9*9+9)+1
הכפולות של 9 בודאי מתחלקות ב-9, מה שנשאר אלו הן השאריות שמהוות בדיוק את הספרות של המספר. אם סכום השאריות מתחלק ב-9 המספר כולו יתחלק ב-9.
משחקי חשבון
משחקי חשבון

קישורים
אתר המאפשר ליצור דפי עבודה (אנגלית)
אוסף ענק של קישורים מאתר מכללת קיי

יום רביעי, 2 בנובמבר 2011

כדור הארץ

כדור הארץ הוא הבית שלנו. הנה עובדות מרתקות על כדור הארץ - כוכב הלכת השלישי במערכת השמש. שמו לרוב הוא ארץ בלבד. בימי קדם טיבו של הכוכבים לא היה ברור וכולם היו חלק מהשמיים. המקום היחידי בו הייתה ארץ כונה כך מאז. שימו לב גם לדמיון בין השם העברי ארץ למילה Earth . מאחר ולמילה ארץ בעברית שימושים רבים מאד, התקבל המונח כדור הארץ לתיאור כוכב הלכת שלנו.

צורת כדור הארץ
למרות המשתמע משמו כדור הארץ לא ממש עגול. בכלל העיגול המושלם נדיר מאד בגרמי השמים. סיבוב של כל גוף סביב צירו יוצר פחיסות מסוימת והמרחק בין קטבי כדור הארץ קטן יותר מאשר היקפו (במילים אחרות. אורכו של קו אורך ממוצע גדול יותר מאורכו של קו המשווה). רדיוס כדור הארץ הוא 6,378 קילומטרים  בקו המשווה ובקטבים קצת פחות. בכל זאת כדור הארץ הוא מוצק והפחיסות קטנה. בכוכבים גזיים כדוגמת צדק, ההבדלים גודלים הרבה יותר. היקף כדור הארץ הוא כ-40,000 קילומטר.
דווקא ההרים ומעמקי הים לא מאד פוגעים בצורת הכדוריות. אם גובה האוורסט הוא כמעט 9 קילומטרים ומעמקי האוקינוס מגיעים לעומק של 11 קילומטרים, הרי שמדובר ב-20 קילומטרים המהווים כשישית האחוז מקוטר כדור הארץ.
לשימושים מדוייקים במיוחד (רק אם אתה מהנדס טילים) מתייחסים לכדור הארץ כגאואיד, צורה לא מוגדרת (הדומה לכדור) ומחשבים בכל מקום על פניו את חוזק כוחות הכבידה (למעשה את שדה הכבידה). גם הרכבו של כדור הארץ אינו אחיד והרכב זה משפיע על כח הכבידה.

מבנה כדור הארץ
מהו מבנה כדור הארץ? ממה הוא עשוי? שאלות מצוינות. כדור הארץ מורכב מהרבה מאד דברים, למעשה כל 92 היסודות הקיימים בטבע נמצאו עליו ולכן אפשר להגיד שהוא מורכב מהכל... אבל ננסה לדייק יותר
  • החלק הפנימי ביותר של כדור הארץ מכונה ליבה. רדיוס הליבה כ-3500 קילומטר והיא עשויה ממתכות ובעיקר מברזל וניקל. לליבה שני חלקים, הפנימי מוצק ואילו החיצוני, קר במעט, נוזלי. אם קראתם היטב שמתם לב שהחלק החיצוני קר יותר ולמרות זאת הוא נוזלי, בניגוד מסוים להיגיון. אתם צודקים, אבל עמוק בתוך כדור הארץ הפיזיקה מתחשבת בגורמים נוספים, החומר במרכז הליבה צפוף בהרבה ונתון בלחץ הרבה יותר גבוה. חומר בלחץ גבוה, נוטה להיות מוצק.
  • לאחר הליבה באה המעטפת. שכבה עבה נוספת ברדיוס של כ- 2800 קילומטרים המורכבת בעיקר מסלעים שונים. שוב, חלקה העליון של המעטפת מצוי בטמפרטורות גבוהות ויכול להיות במצב נוזלי
  • החלק השברירי ביותר של כדור הארץ הוא הקרום. עוביו של חלק זה נע מ-5 קילומטרים בודדים בקרקעית האוקינוס ועד ל-60 קילומטר יציבים של סלע. הקרום רגיש וסדיק, ואופיו גורם לתופעות של הרי געש ורעידות האדמה.
  • מעל הקרום יש את האיזור שאנו חיים בו. מים, אדמה ושמים. הם כבר לא חלק מכדור הארץ אבל הם (ובעצם גם אנחנו) נמצאים על כדור הארץ. האדמה מורכבת בעיקר מסלעים וחול. המים מורכבים בעיקר מ.... מים, והאוויר מורכב מתרכובות של חנקן וחמצן ועוד כמה דברים (היסוד השלישי בשכיחותו באטמוספירה הינו דווקא ארגון...)
כדור הארץ מהחלל - אפולו 17
כדור הארץ מהחלל - אפולו 17


איך נוצר כדור הארץ
כדור הארץ נוצר כחלק ממערכת השמש. ענני גז ואבק וחומרים מוצקים קטנים, שארית של התפוצצויות סופרנובות רחוקות החלו בהשפעת כוחות כבידה להסתחרר ולהתקבץ. בכל מקום בו הייתה הפרעה בכבידה נוצר גוף מקומי. הגוף הגדול ביותר הוא השמש העשויה מגז בלבד, חלק מאותם חומרים יצרו את כדור הארץ. כדור הארץ עבר שינויים רבים במהלך השנים. היסודות הכבדים ביותר שקעו פנימה (ויצרו את ליבת הברזל שלו) והיסודות האחרים הקלים יותר וגם הצפופים פחות נשארו במעטפת. שינויים בקרום כדור הארץ חלים כל הזמן ומדענים משערים שגם בליבה הפנימית העשויה ברזל יש שינויים, כולל כאלו המשנים את כיוון השדה המגנטי של כדור הארץ.


איך הגיעו מים לכדור הארץ
מים הם יסוד נפוץ מאד ביקום. לא יודעים איך הם נוצרו מלכתחילה אבל מים נמצאים בגרעיניהם של כוכבי שביט, בירחים ובאסטרואידים. ההשערה היא שמעט לאחר היווצרת כדור הארץ התנגש בו כוכב שביט או אסטרואיד מלא מים. חלק מאדי המים התפזרו לחלל אולם חלק אחר נשאר על פני כדור הארץ ויצר את מערכת המים הגדולה שלו (בתהליך איטי של מיליוני שנים).

למה דווקא על כדור הארץ יש חיים
זו שאלה קשה ברמות תיאולוגיות, פילוסופיות ומדעיות. בכיוון המדעי, החיים כמו שאנו מכירים אותם, דורשים מספר תנאים, וכדור הארץ, הוא בדיוק מתאים. מקובל לקרוא לזה אפקט זהבה על שם זהבה ושלושת הדובים. הוא לא קר מדי והוא לא חם מדי, יש עליו שפע של מים חמצן ופחמן. מדענים המחפשים חיים במקומות אחרים ביקום, מחפשים חיים הדומים לכדור הארץ. צורות חיים שונות (שלא מבוססות על תאים למשל), אולי אפשריות אך הן שייכות יותר לכיוון המדע הבדיוני. בהיבטים הפילוסופים והתיאולוגיים לא נעסוק.

התחממות כדור הארץ
בשנים האחרונות אנו נחשפים לבעיה שמכונה התחממות כדור הארץ. כדור הארץ עצמו לא מתחמם (למעשה כדור הארץ פולט את האנרגייה הפנימית שלו לחלל כל הזמן, ונמצא בתהליך ארוך מאד של התקררות). מה שמתחמם הוא האוויר באטמוספירה, או מי הים (זיכרו שהמים והאוויר, אינם חלק מכדור הארץ, אלא הם נמצאים עליו). החששות הם שהתיעוש המודרני ופליטת גזי חממה מונעים יציאה של חום לחלל החיצון (מחוץ לאטמוספירה) והחום נשאר בתוך האטמוספירה וגורם לעליית הטמפרטורה. מדידות מראות שהטמפרטורה הממוצעת (ומאחר וקשה מאד להגדיר מהי טמפרטורה ממוצעת על כדור הארץ) עלתה בכמעלה אחת. אמנם זה נראה מעט, אולם עלייה נוספת אפשרית, ובמירקם האיזון העדין של החיים בכדור הארץ היא משמעותית. לגזי החממה אפקט נוסף והוא שהם גורמים לעלייה בחומציות של הים. הים משמש כמנקה העיקרי של האוויר אולם גם הקיבולת שלו מוגבלת ויכולתו לקלוט פחמן סופית. יותר מיד פחמן גורם לעלייה בחומציות של מי הים ולפגיעה ביצורים זעירים, באלמוגים ובכך בשרשרת המזון הימית כולה. לחילופין יש טענות שההתחממות היא תופעה טבעית ושכדור הארץ ידע תקופות התחממות והתקררות. המחלוקות עזות והן לא רק מדעיות אלא גם פוליטיות. בכל מקרה, גם אם ההתחממות טבעית, בוודאי פליטה מוגברת של גזי חממה אינה טובה מסיבות רבות של חומציות האוקינוסים, זיהום האוויר לנשימה ועוד.

יום כדור הארץ
כדי להעלות את המודעות לנושא כדור הארץ קמו מיזמים שונים כדוגמת יום כדור הארץ. יום כדור הארץ הוא מיזם ותיק. מאז שנת 1970, כאשר עוד לא דיברו על ההתחממות הגלובלית. מאז הוא מצוין רשמית ב-22 לאפריל של כל שנה ועוסק בעיקרו בצורך להגן על הסביבה ולשמור על כדור הארץ.

שעת כדור הארץ
יוזמה אחרת ידועה היא "שעת כדור הארץ". זוהי שעה אחת בערים מרכזיות בעולם בהם מנסים להמעיט בצריכת האנרגיה ולהגביר מודעות לנושא. בישראל למשל, מכבים את האורות בבנין עזריאלי. בעיני, שעה זו הינה גימיק מוחלט ובסך הכל עושה יחסי ציבור לגופים המשתתפים. אם רוצים לחסוך באנרגיה, ניתן ורצוי  לאסור על הארת מגדלים כלל בתאורה שכל מטרתה להאיר את המגדל. את התאורה שמותר לשים, חובה לשים מלמעלה למטה (לא לפזר את האור לחלל, אלא ליצור תאורה חסכונית וממוקדת). כך החיסכון יהיה על פני כל השנה ולא על פני שעה בלבד. גם מערכות לכיבוי אורות בבניני משרדים, או בנייה חכמה המאפשרת כניסת אור שמש למבנים (בניגוד לציפוי בחלונות כהים, החוסמים אור ומעלים מאד את טמפרטורות הבניין) יחסכו רבות. כל מי שרוצה לחסוך יכול להתחיל בביתו: הקפדה על כיבוי אורות ומכשירים, החלפה לנורות חסכוניות, בדיקת צריכת האנרגייה כאשר קונים מכשירי חשמל חדשים ועוד.

מאמרים נוספים על כדור הארץ
כדור הארץ מהחלל - תמונות מרהיבות של כדור הארץ מחלליות רחוקות
אם לכדור הארץ היו טבעות - סרטון המדגים איך כדור הארץ נראה עם טבעות כמו של שבתאי