יום חמישי, 26 בדצמבר 2013

משוואת הזמן

מדוע השבת המוקדמת ביותר בשנה היא בתאריך המוקדם בשלושה שבועות מהיום הקצר בשנה? מדוע לאחר היום הקצר בשנה, הזריחה עדיין ממשיכה להתאחר מדי יום? מדוע לפעמים זמן הזריחה כמעט ואינו משתנה אבל זמן השקיעה גדל כל יום בדקה שלמה?

אלו הן שאלות שאני נשאל באופן תדיר על ידי אנשים ובמאמר זה ננסה להציע תשובה לכולן. ובתור התחלה נציג טבלה עם מועדי הזריחה והשקיעה מישראל לחודש דצמבר שבו חל יום ההיפוך החורפי (היום הקצר בשנה). שימו לב לשורות המודגשות. השקיעה המוקדמת ביותר הינה בתחילת דצמבר. לכן גם השבת המוקדמת ביותר (כניסת השבת נקבעת לפי השקיעה) תמיד תהיה כשלושה שבועות לפני היום הקצר בשנה.




תאריך
זריחה
שקיעה
אורך שעות היום
1/12/2013
6:23:02 AM
4:36:06 PM
10:13:04 AM
2/12/2013
6:23:52 AM
4:36:02 PM
10:12:10 AM
3/12/2013
6:24:41 AM
4:36:01 PM
10:11:19 AM
4/12/2013
6:25:30 AM
4:36:01 PM
10:10:32 AM
5/12/2013
6:26:17 AM
4:36:03 PM
10:09:46 AM
6/12/2013
6:27:05 AM
4:36:07 PM
10:09:03 AM
7/12/2013
6:27:50 AM
4:36:13 PM
10:08:22 AM
8/12/2013
6:28:36 AM
4:36:20 PM
10:07:44 AM
9/12/2013
6:29:21 AM
4:36:30 PM
10:07:09 AM
10/12/2013
6:30:05 AM
4:36:40 PM
10:06:35 AM
11/12/2013
6:30:48 AM
4:36:53 PM
10:06:06 AM
12/12/2013
6:31:30 AM
4:37:08 PM
10:05:38 AM
13/12/2013
6:32:10 AM
4:37:24 PM
10:05:13 AM
14/12/2013
6:32:50 AM
4:37:42 PM
10:04:51 AM
15/12/2013
6:33:29 AM
4:38:01 PM
10:04:32 AM
16/12/2013
6:34:06 AM
4:38:22 PM
10:04:16 AM
17/12/2013
6:34:43 AM
4:38:45 PM
10:04:02 AM
18/12/2013
6:35:18 AM
4:39:09 PM
10:03:51 AM
19/12/2013
6:35:52 AM
4:39:35 PM
10:03:43 AM
20/12/2013
6:36:24 AM
4:40:02 PM
10:03:39 AM
21/12/2013
6:36:55 AM
4:40:31 PM
10:03:36 AM
22/12/2013
6:37:25 AM
4:41:01 PM
10:03:36 AM
23/12/2013
6:37:53 AM
4:41:33 PM
10:03:40 AM
24/12/2013
6:38:20 AM
4:42:06 PM
10:03:46 AM
25/12/2013
6:38:45 AM
4:42:41 PM
10:03:55 AM
26/12/2013
6:39:10 AM
4:43:17 PM
10:04:07 AM
27/12/2013
6:39:32 AM
4:43:54 PM
10:04:22 AM
28/12/2013
6:39:54 AM
4:44:33 PM
10:04:39 AM
29/12/2013
6:40:13 AM
4:45:13 PM
10:05:00 AM
30/12/2013
6:40:31 AM
4:45:53 PM
10:05:23 AM
31/12/2013
6:40:46 AM
4:46:36 PM
10:05:49 AM


 לאחר תאריך השקיעה המוקדמת ביותר (4/12), השקיעה מתחילה להתאחר, אבל הזריחה מתאחרת הרבה יותר ממנה.לדוגמה בתאריך 10/12 הזריחה התאחרה ב-44 שניות לעומת היום הקודם. השקיעה לעומת זאת התאחרה רק ב-10 שניות, והתוצאה היא שהיום כולו קצר ב-34 שניות מהיום הקודם. לאחר יום ההיפוך, הזריחה מממשיכה להתאחר, למשל ב-27/12 הזריחה מאוחרת 22 שניות לעומת היום הקודם, אבל השקיעה כבר התאחרה ב-37 שניות ובסך הכל היום ארוך יותר ב-15 שניות לעומת היום הקודם. למעשה עד תחילת ינואר הזריחה תלך ותתאחר, אולם בסופו של דבר זמן הזריחה יתחיל להיות מוקדם יותר וקצב השינוי באורך שעות היום יגדל. מהטבלה רואים שהשינוי המינימילי באורך היום הוא ביום ההיפוך ואפשר לנחש לבד (ואכן עיון בטבלה המלאה יראה) שבימי השיוויון השינוי באורך היום הוא מקסימלי, ובישראל עומד על כמעט שתי דקות.

העיון בטבלה, מדגיש את השאלה, למה זמני הזריחה והשקיעה לא מתנהגים בצורה אחידה. התשובה היא שהם דווקא כן מתנהגים בצורה אחידה, אבל ביחס לנקודה בזמן שנקראת חצות היום האמיתי. השמש כידוע זורחת בצד מזרח ושוקעת במערב. נקודת חצות היום האמיתי (הצהריים) היא הנקודה בה השמש נמצאת בדיוק על הקו המחבר בין הדרום לצפון, קו המכונה מיצהר (מרידיאן בלעז). שעת המיצהר תלויה אך ורק בקו האורך של הצופה והיא זהה לצופים בקוי רוחב שונים.
היממה השמשית היא משך הזמן העובר בין שתי הופעות של השמש במיצהר. זמן זה שווה בדיוק ל 24 שעות. לא פלא, זוהי פשוט ההגדרה של 24 שעות. אבל יממה שמשית היא 24 שעות רק בממוצע. בפועל יממה שמשית יכולה להיות ארוכה יותר או קצרה יותר. כתוצאה מהאורך המשתנה של היממה, זמן חצות היום משתנה. בקירוב טוב (שכן השמש זזה מעט גם במהלך היום), הזמן בין הזריחה לחצות היום ובין חצות היום לשקיעה זהה בכל יום. את זמן החצות האמיתי קל למדוד, שעון שמש שמאופס היטב יראה אותו בכל יום, ואם מציירים את קו הצל במשך יום שלם, שעת החצות תמיד תהיה כשהצל הוא הקצר ביותר.
הסטייה של אורך היממה יכולה להגיע עד כדי חצי דקה לכל כיוון!

נוסיף לטבלת חודש דצמבר טור נוסף ובו גם זמן החצות האמיתי.


תאריך
זריחה
חצות
שקיעה
אורך שעות היום
1/12/2013
6:23:02
11:29:40
16:36:06
10:13:04
2/12/2013
6:23:52
11:30:02
16:36:02
10:12:10
3/12/2013
6:24:41
11:30:26
16:36:01
10:11:19
4/12/2013
6:25:30
11:30:51
16:36:01
10:10:32
5/12/2013
6:26:17
11:31:15
16:36:03
10:09:46
6/12/2013
6:27:05
11:31:40
16:36:07
10:09:03
7/12/2013
6:27:50
11:32:06
16:36:13
10:08:22
8/12/2013
6:28:36
11:32:33
16:36:20
10:07:44
9/12/2013
6:29:21
11:32:59
16:36:30
10:07:09
10/12/2013
6:30:05
11:33:26
16:36:40
10:06:35
11/12/2013
6:30:48
11:33:54
16:36:53
10:06:06
12/12/2013
6:31:30
11:34:22
16:37:08
10:05:38
13/12/2013
6:32:10
11:34:49
16:37:24
10:05:13
14/12/2013
6:32:50
11:35:18
16:37:42
10:04:51
15/12/2013
6:33:29
11:35:47
16:38:01
10:04:32
16/12/2013
6:34:06
11:36:16
16:38:22
10:04:16
17/12/2013
6:34:43
11:36:45
16:38:45
10:04:02
18/12/2013
6:35:18
11:37:14
16:39:09
10:03:51
19/12/2013
6:35:52
11:37:44
16:39:35
10:03:43
20/12/2013
6:36:24
11:38:13
16:40:02
10:03:39
21/12/2013
6:36:55
11:38:43
16:40:31
10:03:36
22/12/2013
6:37:25
11:39:13
16:41:01
10:03:36
23/12/2013
6:37:53
11:39:43
16:41:33
10:03:40
24/12/2013
6:38:20
11:40:12
16:42:06
10:03:46
25/12/2013
6:38:45
11:40:43
16:42:41
10:03:55
26/12/2013
6:39:10
11:41:12
16:43:17
10:04:07
27/12/2013
6:39:32
11:41:41
16:43:54
10:04:22
28/12/2013
6:39:54
11:42:11
16:44:33
10:04:39
29/12/2013
6:40:13
11:42:40
16:45:13
10:05:00
30/12/2013
6:40:31
11:43:09
16:45:53
10:05:23
31/12/2013
6:40:46
11:43:38
16:46:36
10:05:49


 כפי שאפשר לראות זמן חצות היום עצמו אינו קבוע והוא הולך ומתאחר. כלומר בתקופה זו היום אורך יותר מ-24 שעות. אבל כאשר מסתכלים על יום בודד למשל 27/12- המרחק בין הזריחה לחצות היום הוא 5:2:11 ומחצות לשקיעה הוא 5:2:13 - כמעט זהה.

ההצטברות של שינוי הזמן מזמן החצות הממוצע (הנקבע לפי קו האורך ואזור הזמן ובתל-אביב הוא כ 11:40:36) לכל יום בשנה מכונה משוואת הזמן והיא נראית כך:
משוואת הזמן לתל-אביב. ההפרש בין זמן חצות האמיתי לממוצע במשך השנה.
משוואת הזמן לתל-אביב. ההפרש בין זמן חצות האמיתי לממוצע במשך השנה.

ההצטברות משמעותית ומגיעה ליותר מרבע שעה. שימו לב שארבע פעמים בשנה, זמן החצות האמיתי משתווה לזמן חצות הממוצע. לאחר שהדגמנו את התופעה של אורך היממה המשתנה צריך להבין למה לפונקצית הזמן יש צורה מוזרה כל כך ומהם הגורמים המשפיעים על אורך היממה?

לאורך היום המשתנה יש שני גורמים, שההשפעה ההדדית שלהם יוצרת את משוואת הזמן.
הגורם הראשון הוא מהירות כדור הארץ במסלול סביב השמש. כדור הארץ סובב את השמש במסלול אליפטי. לפי חוקי התנועה של קפלר וחוקי שימור האנרגיה, מהירות כדור הארץ (מהירותו במסלול,  לא מדובר על משך הסיבוב עצמי של כדור הארץ סביב צירו) משתנה במהלך מסלולו. המהירות גדולה ככל שכדור הארץ קרוב יותר לשמש וקטנה ככל שהוא רחוק יותר ממנה. נקודה הקירבה -פריהליון - הינה בערך ב -4 לינואר ונקודת הרוחק -האפהליון- הינו ב5 ליולי (גם תאריכים אלו הם ממוצעים). שינוי מהירות זה יכול להאריך או לקצר את היממה בעד שבע שניות.

הגורם השני הוא נטיית ציר כדור הארץ. אפילו אם נניח לצורך הפשטות שהמסלול היה מעגלי, נטיית הציר גורמת לכך שהשמש נעה בשמים - כפי שנראה לצופה בכדור הארץ - בצורה לא אחידה. השמש נעה בקו על מסלול המילקה. תנועה זו היא אלכסונית כלפי צופה על כדור הארץ ויש לחלק אותה לשתי תנועות שונות. תנועה אחת בציר למעלה-למטה ותנועה שנייה בציר ימין-שמאל (למעשה זוהי תנועה על פני מערכת הקוארדינטות השמימית בצירים המוכנים נטייה - Declination ועלייה ישרה - Right Ascension אבל נשתמש במונחים הפשוטים יותר). האיור הבא ידגים שלמרות שאורך התנועה עצמה זהה, רכיבי הכיוון שלה שונים מאד. האיור הבא מדגים זאת. אורך התנועה עצמה כמובן זהה (זהו רדיוס המעגל), אבל הגדלים בשני הצירים שונים (אלו אכן הסינוסים והקוסינוסים הידועים לשימצה).
פירוק תנועה אלכסונית לרכיבים בשני צירים
פירוק תנועה אלכסונית לרכיבים בשני צירים

בימי ההיפוך, התנועה העיקרית היא בציר ה-ימין-שמאל (X) ובתנועה בגובה (Y) היא מינימלית. בימי השיוויון, רוב התנועה היא דווקא בגובה. אבל התנועה בגובה, בציר ה-Y כלל לא משפיעה על משך היממה. לא חשוב לנו באיזה גובה בשמים השמש עוברת את המיצהר. רק התנועה ברכיב ימין-שמאל (RA) משפיעה, וקצב התנועה שם שונה בימים השונים של השנה. שינוי זה יכול לתרום עד כ-22 שניות לאורך היממה. לשינוי זה שני שיאים במהלך השנה (בנקודות השיוויון).


צירופם של שני הגורמים ביחד - מהירותו המשתנה של כדור הארץ ורכיב התנועה היומית של השמש מוביל ליממה שאורכה הוא 24 שעות בסטייה של עד חצי דקה שלמה. והחיבור שלהם יוצר את משוואת הזמן. מאחר ולפונקציות המרכיבות את המשוואה אין גורם משותף, הרכבה שלהן אחת על השנייה יוצרת את הצורה המורכבת למדי של משוואת הזמן.