אינסוף

"אל האינסוף ומעבר לו...." - זוהי קריאת הקרב של בז שנת אור מצעצוע של סיפור (שמו של בז מתבסס על שמו של בז אולדרין, שותפו של ניל ארמסטרונג לנחיתה על הירח). אבל אם לאינסוף אינסוף, מה יש מעבר לאינסוף? ואם כך האם אינסוף פחות אינסוף הוא אפס??? שאלות אלו טורדניות ביותר ובמקום להתייאש ולא לחשוב עליהן כלל, אפשר לנסות לפתור אותן ולהיעזר לשם כך בספר הבא

בז שנות אור - מה יש מעבר לאינסוף?

חיים שפירא בספרו "אינסוף – המסע שאינו נגמר" מנסה לענות על שאלות כגון אלו. כבר בהקדמה ד"ר שפירא מציין כי רצה לכתוב ספר שאינו סיפור על מתמטיקאים (ספרים הנפוצים מאד לאחרונה) או סיפור המשלב מתימטיקה (כדוגמת התיאורמה של התוכי או הדוד פטרוס והשערת גולדבך - שניהם מומלצים מאד) אלא ספר פשוט ובהיר בשפה קלילה ומשעשעת שיציג לקורא את המתטימטיקה ובפרט את תחומי תורת המספרים ותורת הקבוצות וישלב את מושג האינסוף. המחבר מבטיח בראשית הספר להשתמש רק בארבע פעולות החשבון הבסיסיות ובאמצעותן הוא עורך מסע מתימטי החל מפיתגורס ועד קנטור. הקורא יהנה ממבחר חידות ושעשועים מתורת המספרים (מספר הזהב, מפסרי פיבונצ'י, נקודת שבת של סדרות, לוגיקה ועוד) ואף ייאלץ להפעיל את מוחו במקומות רבים בהם יצטרך למצוא הוכחות או הסברים למשפטים מתימטיים מפורסמים (אין חובה, אפשר לדלג ולקרוא ישר את הפתרון). הסיבה הראשונה לקריאת הספר נמצאת כבר בכריכתו, אוסף שאלות שהספר מתחייב לענות עליהן כדוגמת האם קו יכול למלא ריבוע? איזה מספר נקרא על שמו של פו הדב? ועוד שאלות חשובות כגון אלו. ואת כל זה הוא עושה בהומור ובחן ברב. בימים אלו בהם פרופסורים מכובדים (אולם בתחומים הרחוקים ביותר ממדעי הטבע - ולא הייתי מתייחס לעובדה זו למעט שהמחבר טורח להדגיש את היותו פרופסור ובכך לתת משקל יתר לדבריו) מוציאים ספרים שכותרתם היא "למה צריך לבטל את המתמטיקה" (הקישור מוביל למאמר ארוך ומנומק היטב נגד גישת הספר) ספרו של חיים שפירא המשמש כסוג של קונטרה המראה לנו עד כמה המתמטיקה נמצאת בכל מקום בחיינו ועד כמה היא יכולה להיות הומורית ומשעשעת. בניגוד לספר המתימטי הקודם שסקרתי, סימטריה, סיפרו של חיים שפירא לא מנסה להציג מחקר ארוך שנים של המחבר או לפתור בעיות מורכבות. לעומת זאת, כבר מההתחלה ברור שלמחבר חשוב מאד להגיע למושג האינסוף, מושג אותו הוא מציג בחינניות מרובה. נביא קטע מהספר.
הציבו את הסימן < > או = בין שני המספרים הבאים: ......0.999999999  ____ 1
שלוש הנקודות לאחר סדרת התשיעיות מציינות כי המספר אינו נגמר אלא יש סדרה אינסופית של תשיעיות. רוב האנשים יטענו כי 1 יותר גדול אולם המחבר מוכיח באלגנטיות כי המספרים שווים.
ההוכחה כל כך פשוטה שנביא אותה כאן כפי המופיע בספר
נניח כי

a=0.999999999...

ולכן

10a=9.999999999...

ומכאן נובע כי  10a-a=9a=9 וברור כי a=1. אופס.. מסתבר שהמספרים בכל זאת שווים...

אפשר גם בדרך אחרת. קחו 1 וחלקו אותו ל-9. קיבלנו תשיעית. הייצוג העשרוני הוא 0.11111…
הכפילו מספר זה בתשע ונקבל 0.99999999999999… אבל מאחר ותשיעית כפול תשע שווה אחד יוצא כי שני המספרים זהים. זהו כוחו של האינסוף. מוחנו הסופי בהחלט מתרגם שורת מספרים כארוכה מאד אולם סופית ולכן המספר אחד יהיה יותר גדול. כאשר השורה היא אינסופית המספרים נהיים זהים. הוכחות והגדרות מסובכות יותר לכך דורשות כבר שימוש בטורים ובגבולות מושגים החורגים מהיקפו של הספר. לאחר הצגת נושא זה של אינסוף הדיון בו עובר לשאלות מרתקות אף יותר ובפרט המלון של הילברט, המלון עם אינסוף אורחים ועם אינסוף חדרים אבל תמיד יש מקום לעוד אחד ואפילו לעוד אינסוף של אורחים עד ש... (לא נגלה לכם מתי באמת המלון מתמלא, תצטרכו לקרוא את זה לבד). האם הספר טוב? אני נהנתי אבל אני בעל רקע מתימטי ורבות מהחידות וההוכחות כבר הכרתי ולא הייתי צריך להתעמק בהן על מנת לראות אם הן מובנות. ניסתי את תרגילי האינסוף שהבאתי למעלה עם קהל שאינו מתימטי ובגילאים מגוונים, חלקם התעיניו הבינו ונהנו מאד וחלקם פטרו את עניין האינסוף כמשהו שטותי שלא קיים ולא הגיוני ולא יכול להיות. מסתבר שעדיין שורש הפחד מהתימטיקה כל כך עמוק שאנשים עדיין מסרבים לעסוק בתחומים אלו מתוך חסמים חשיבתיים שמקורם הינו בהכרח פסיכולוגי (ומתקשר לאותו פרופסור מכובד מתחילת המאמר). לכן, אין ביכולתי לדעת אם הספר עונה על הדרישה והאם אנשים בעלי רקע מתימטי רגיל (נניח בגרות של 4 ו-3 יחידות) יגלו בו עניין ויבינו את תוכנו, כנראה שיש פה צעד נכון בכיוון הנכון אבל רק ההתחלה. לנסות כדאי בכל אופן.
פניתי למחבר ושאלתי אם חשב לערוך ספר זה בגירסה מיוחדת לילדים, תשובתו הייתה שהרעיון עלה בראשו ואני תקווה שאכן זה יקרה. גירסה קלילה יותר (גם קלה יותר וגם המוותרת על חלקים שינם חינניים אך לא חיוניים) יכולה להועיל הן לילדים והן למבוגרים.

אינסוף - חיים שפירא

חיים שפירא
אינסוף – המסע שאינו נגמר
תש"ע – 2010
איורים מאת דני קרמן
הוצאת כינרת זמורה ביתן
383 עמודים

חיים שפירא הינו גם נגן פסנתר. קטעים מנגינתו ניתן לראות באתר יוטיוב. הנה קטע מהנה לדוגמה.