משחקי חשבון

מהם משחקי חשבון? משחקים ופעילויות דרכם אפשר ללמד את הילדים חשבון ואשר עשייתם היא מעין משחק ולא פתירה של דפי עבודה או דפי תרגול (למרות שגם לאלו יש מקום ונביא כמה קישורים בסוף). במאמר נתאר מספר משחקי חשבון שאפשר לעשות עם ילדים קטנים וגדולים. רוב משחקי החשבון דורשים ארבע פעולות בלבד, לפעמים כדאי להיעזר במחשבון. יש לישם לב. הילדים עצמם יכולים לעעשות את המשחקים אולם לא תידרש מהם ההבנה מדוע הדברים קורים (למרות שבהתאם לגיל הילד, אפשר לנסות ולהסביר לו).
לכיתות ג' והלאה אפשר בהחלט להירשם לתוכנית מתימטיקה בהתכתבות של מכון ויצמן.

משחקי חשבון בסדרות
במשחקי חשבון אלו אנו מתחילים תמיד במספר, מבצעים עליו פעולה כלשהי ומגיעים למספר אחר, וחוזרים שוב על הפעולה. אותנו יענינו סדרות שבהן לאחר מספר פעולות מגיעים לאותו מספר (נקודת עצירה של הסדרה). כדאי לנסות ולחשוב למה מגיעים לנקודת עצירה.

משחקי כפל
11*11=121
111*111=12321
1111*1111=1234321

וכו' (למרות שלמספרים עם יותר מתשעה אחדים הכפת משתבש מעט, אבל אפשר לנסות במחשבון של תוכנות חלונות, יש לו הרבה ספרות, יותר מאשר מחשבי כיס)
למה זה קורה?
רישום של התרגיל ככפל ארוך יסביר מיד את התופעה

111

111

===

111

 111

  111

=====

12321

כדאי לנסות גם למספרים שכולם מרוכבים מהספרה שתיים. אמנם החוקיות תהיה מוזרה יותר, אבל עדיין קיימת. בספרות יותר גבוהות העסק קצת הופך לבלאגן אך שרידי חוקיות עדיין קיימים... נסו ותיהנו

משחק ראשון
ביחרו מספר והרכיבו מספר חדש בצורה הבאה. הספרות הראשונות יהיו מספר הספרות הזוגיות במספר המקורי. לאחריו יפיעו מספר הספרות האי-זוגיות במספר המקורי ולבסוף הסכום של שתיהן.
דוגמה:
1800400400 (0 הוא ספרה זוגית)
9110
134
123
123
הגענו לנקודת עצירה במספר 123....
אפשר לנסות מספרים אחרים. מאחר ומספר הספרות במספר תהיה תמיד קטנה יותר מהמספר עצמו, התהליך ייעצר תמיד ואפשר להוכיח כי 123 תהיה התשובה. מבוגרים וילדים גודלים יותר יכולים לנסות ולחשוב למה אבל לא חייבים.

דוגמא נוספת היא במספרים בני ארבע ספרות. לא משנה מאיזה מספר מתחילים (כל עוד לא כל הספרות זהות).
מבצעים את הפעולות הבאות. מספרים כאלו מתאימים לילדים בכיתות ג' ד' ואילך.
בוחרים מספר: מרכיבים ממנו את המספר הגדול ביותר ואת הקטן ביותר.
מבצעים את אותן פעולות על ההפרש...
נראה מה קורה
נבחר את שנת הלידה שלי:
1972 התרגיל חיסור יהיה -> 9712-1279=8433
ממשיכים - > 8433-3348=5085
ממשיכים -> 8550-558=7992
ממשיכים -> 9972-2799=7173
לכאורה נראה שאין הגיון, אבל נצטרך להמשיך ולקוות שמתישהו התהליך ייעצר
7731-1377=6354
6543-3456=3087
8730-378=8352
מתקרבים לסיום!
8532-2358=6174
7641-1467=6174
תשעה שלבים והגענו לנקודת העצירה. נסו מספרים נוספים (ואפשר לנסות גם מספרים בעלי 3 או 5 ספרות)

משחק שני
ביחרו מספר. ובצעו את הפעולות הבאות. אם הוא זוגי חלקו אותו בשניים. אם הוא אי זוגי הכפילו ב-3 והוסיפו 1.
המשיכו עוד ועוד עד שתגיעו (אם תגיעו למספר 1).
לרוב זה עובד די מהר, נסו כמה מספרים
26 -> 13 -> 40 -> 20 - > 10 -> 5 -> 16 -> 8 -> 4 -> 2 -> 1
או למשל
28 -> 14 -> 7 -> 22 - > 11 -> 34 > 17 > 52 > 26  וממשיכים כמו למעלה.
אפשר גם להתחיל אם מספר אי זוגי
25 > 76 > 38 > 19 > 58 > 29 > 88 > 44 > 22 > וממשיכים כמו מלמעלה.

אין שום דרך לדעת את גודל הסדרה. לביטחונכם האישי, אל תתחילו עם 27. יידרשו למעלה מ-100 צעדים ותגיעו עד למספר 9232 (למרות שמשם הדרך כבר קצרה לסיום).

לסדרה זו אין הסברים. אמנם כל המספרים שנוסו עד עכשיו הגיעו ל-1 אולם לא ברור אם ישנם מספרים שעבורם התהליך לא ייעצר, או לחילופים להעריך כמה שלבים נדרשים לכל מספר. התרגיל מכונה השערת  קולץ או לעיתים השערת 3n+1. מפתיע שתרגיל כה פשוט לביצוע מעמיד שאלות שטובי המתימטיקאים לא מצליחים לענות עליהן

קיימים עוד עשרות סוגי פעולות מסוג אלו שלהם יש או אין מספרי עצירה, מפעם לפעם נוסיף עוד (אתם מוזמנים להוסיף בהערות)

משחק שלישי
סימני חלוקה, איך לדעת אם מספר מתחלק ל 2 3 5 6 או 9 (יש סימנים גם למספרים אחרים אבל הם מסובכים יותר)
מספר זוגי יתחלק ב-2
חלוקה ב-3 (אם סכום הספרות מתחלק ב-3) למשל 45766 > 4+5+7+6+6=28 > 2+8=10 לא מתחלק
חלוקה ב-6 מספר זוגי שגם מתחלק ב-3
חלוקה ב-5 - מספר שמסתיים ב-0 או ב-5
חלוקה ב -9 סכום הספרות מתחלק ב-9

סימני החלוקה של 2 6 ו-5 די ברורים, אולם למה אם סכום הספרות מתחלק ב-9 המספר מתחלק ב-9? אפשר להסתכל על כל ספרה בנפרד לפי המיקום שלה. נבחר מספר בין 4 ספרות לצורך המחשה: 5891
הוא מורכב מ 1, 90, 800 ו-5000.
1 לא מתחלק ב-9 והוא נותן שארית 1.
90 מתחלק ב-9 (אין שארית, אולם להוסיף 9 לסכום לא ישנה את התוצאה)
800 - לא מתחלק בתשע. השארית היא בדיוק 8 (מאחר ו-99 מתחלק ב-9, עבור כל מאה שיש במספר, יש שארית של 1. המספר הוא שמונה מאות ולכן השאירת היא 8 ובקיצור הספרה)
5000 - לא מתחלק ב-9 והשארית היא בדיוק 5 (מאותה סיבה בכל אלפייה יש שארית של 1).
אם מסכמים את כל השאריות יוצא ש

5891=5*1000+8*100+9*10+1=(5*999+5)+(8*99+8)+(9*9+9)+1

הכפולות של 9 בודאי מתחלקות ב-9, מה שנשאר אלו הן השאריות שמהוות בדיוק את הספרות של המספר. אם סכום השאריות מתחלק ב-9 המספר כולו יתחלק ב-9.

משחקי חשבון

קישורים
אתר המאפשר ליצור דפי עבודה (אנגלית)
אוסף ענק של קישורים מאתר מכללת קיי